1) Demostrar que hay infinitos números primos.
Solución
2) Probar que en un espacio topológico compacto cualquier cerrado es un compacto.
Solución
3) Demostrar que en un espacio topológico Hausdorff, es decir, que verifica el axioma de separación T2, cualquier compacto es cerrado.
Solución
4) Calcular el resultado de la siguiente expresión:
Solución
5) Estudiar el carácter de la serie:
6) Demostrar que el número ii es un número real.
7) Ejemplo de examen de ANÁLISIS MATEMÁTICO de 1º curso de Ingeniería.
7.1) Sea el complejo w definido como
7.1) Sea el complejo w definido como
Calcular el valor principal de ln (4w).
7.2) Probar, sin calcular el límite, que la sucesión {an } es convergente, siendo
para todo n≥1.
7.3) Calcular el límite
7.4) Estudiar el carácter de la serie:
Solución
8) Sea g:[a,b]→ℝ una función integrable que cumple
g(a+b-x)=g(x) para todo a
Pruébese que entonces se verifica
Corolario:
Demostrar que si f es continua en [0,1] se cumple
9) Demostrar que si B es una matriz cuadrada de orden n con coeficientes reales y antisimétrica y la matriz A=I+B es regular entonces es ortogonal la matriz
10) Ejemplo de examen de ÁLGEBRA LINEAL de 1º curso de Ingeniería
10.1) Sea 𝓜₂ₓ₂ el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2. Se consideran los siguientes subconjuntos de 𝓜₂ₓ₂
10.1) Sea 𝓜₂ₓ₂ el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2. Se consideran los siguientes subconjuntos de 𝓜₂ₓ₂
a) Demostrar que S y T son subespacios vectoriales de 𝓜₂ₓ₂
b) Obtener los subespacios S∩T y S+T
c) ¿Se verifica que 𝓜₂ₓ₂=S⊕T? Razónese la respuesta.
10.2) Sea la aplicación f:𝓟₁[x]→𝓟₂[x] definida por f(p(x))=xp(x)+p(0) donde
𝓟₁[x] y 𝓟₂[x] representan los espacios vectoriales de los polinomios de grado menor o igual que uno y de dos respectivamente.
a) Demostrar que f es lineal y obtener la matriz Af asociada a dicha aplicación respecto de las bases canónicas de dichos espacios vectoriales.
b) Utilizar la matriz Af para obtener la imagen por f del polinomio q(x)∈𝓟₁[x] cuyas coordenadas respecto a la base {1-x,1+x} son (3,-1).
10.3) Sea el endomorfismo f:ℝ³→ℝ³ definido respecto a la base canónica por la matriz
a) Obtener una base y la dimensión de Ker(f) y de Im(f)
b) ¿Es dicha aplicación inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Por qué?
c) Si es S={(x,y,z)∈ℝ³ | x-y-z=0}, obtener las ecuaciones cartesianas o implícitas de f(S).
d) Hallar la matriz asociada a f respecto de la base
{(1,1,0),(-1,2,1),(0,-1,2)}.
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